Een vector is een wiskundig object met twee eigenschappen: een grootte en een richting. Dat onderscheidt het van een gewoon getal, dat alleen een waarde heeft. De snelheid van een auto is een vector: je wil niet alleen weten hoe snel hij rijdt, maar ook naar welke kant. De massa van een voorwerp is geen vector: massa heeft alleen een grootte.
Vectoren komen voor in wiskunde, natuurkunde, informatica en werktuigbouwkunde. Op de middelbare school maak je er voor het eerst mee kennis bij wiskunde B en natuurkunde. Daarna kom je ze tegen in bijna elke technische studie. Dit artikel legt de basisprincipes helder uit: wat zijn vectoren, hoe teken en bereken je ze, en waarvoor gebruik je ze?
Laatst bijgewerkt: april 2026
Wat is een vector?
Een vector stel je voor als een pijl. De lengte van de pijl is de grootte (ook wel magnitude of norm genoemd). De richting van de pijl geeft de richting aan. En de punt van de pijl geeft de zin aan: welke kant gaat het op binnen die richting.
In notatie schrijf je een vector met een pijltje erboven: →v, of in gedrukte tekst als een vetgedrukte letter: v. In coördinaten schrijf je een vector in twee dimensies als een kolomnotatie of als geordend paar. Zo stelt v = (3, 4) een vector voor die 3 eenheden naar rechts en 4 eenheden omhoog gaat.
Vector versus scalair
Een scalair is een gewoon getal — alleen een grootte. Voorbeelden: temperatuur (22 graden), massa (5 kilogram), tijd (10 seconden). Een vector heeft naast grootte ook richting. Voorbeelden: snelheid (80 km/u naar het noorden), kracht (500 Newton omlaag), verplaatsing (10 meter naar het oosten).
| Soort grootheid | Alleen grootte | Grootte + richting | Type |
|---|---|---|---|
| Temperatuur | 22 °C | — | Scalair |
| Snelheid | — | 80 km/u, noordwaarts | Vector |
| Kracht | — | 10 N, naar rechts | Vector |
| Massa | 70 kg | — | Scalair |
| Verplaatsing | — | 5 m, omhoog | Vector |
De lengte van een vector berekenen
De lengte (of magnitude) van een vector bereken je met de stelling van Pythagoras. Voor een vector v = (a, b) in twee dimensies geldt:
|v| = √(a² + b²)
Voorbeeld: de vector v = (3, 4) heeft een lengte van √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Voor een vector in drie dimensies, v = (a, b, c), geldt:
|v| = √(a² + b² + c²)
De lengte van een vector is altijd positief (of nul, als het de nulvector is).
Vectoren optellen en aftrekken
Je kunt vectoren bij elkaar optellen door de componenten afzonderlijk op te tellen. Zijn a = (a₁, a₂) en b = (b₁, b₂), dan is:
a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)
Voorbeeld: stel je loopt van huis 4 meter naar rechts en 3 meter omhoog (vector a = (4, 3)), daarna 2 meter naar rechts en 1 meter omlaag (vector b = (2, −1)). Je totale verplaatsing is a + b = (6, 2).
Grafisch optellen gaat met de pijlmethode: je plaatst de staart van de tweede pijl aan de punt van de eerste. De som is de pijl van het begin van de eerste naar het einde van de tweede.
Aftrekken werkt hetzelfde: a − b = (a₁ − b₁, a₂ − b₂). Het aftrekken van vector b is hetzelfde als het optellen van de tegengestelde vector −b.
Vermenigvuldigen met een scalair
Je kunt een vector vermenigvuldigen met een gewoon getal (een scalair). Als v = (a, b) en k is een getal, dan is:
k · v = (k·a, k·b)
Vermenigvuldig je met 2, dan wordt de vector twee keer zo lang. Vermenigvuldig je met −1, dan draait de vector 180 graden. De richting blijft hetzelfde zolang k positief is; bij een negatief k keert de pijl om.
Het inproduct (scalair product)
Het inproduct van twee vectoren levert een getal (scalair) op, geen vector. Dit is handig om de hoek tussen twee vectoren te berekenen, of om te controleren of twee vectoren loodrecht op elkaar staan.
Voor a = (a₁, a₂) en b = (b₁, b₂) is het inproduct:
a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂
In drie dimensies: a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃
Er bestaat ook een formule met de hoek θ tussen de vectoren:
a · b = |a| · |b| · cos(θ)
Hieruit volgt een handige eigenschap: als het inproduct gelijk is aan 0, staan de vectoren loodrecht op elkaar (want cos(90°) = 0). Dat gebruik je veel bij vraagstukken over loodlijnen en projecties.
Eenheidsvectoren
Een eenheidsvector heeft een lengte van precies 1. Je gebruikt eenheidsvectoren om een richting aan te geven zonder een specifieke grootte. De basisvectoren in twee dimensies zijn e₁ = (1, 0) en e₂ = (0, 1). In drie dimensies heb je daarnaast ook e₃ = (0, 0, 1).
Elke vector kun je schrijven als een combinatie van eenheidsvectoren. Zo is v = (3, 4) = 3·e₁ + 4·e₂. Om een willekeurige vector v om te zetten naar een eenheidsvector, deel je hem door zijn lengte: û = v / |v|.
Toepassingen van vectoren
Vectoren zijn geen abstracte wiskundige luxe. Ze liggen aan de basis van veel technologie en wetenschap:
- Natuurkunde — Krachten, snelheden en versnellingen zijn allemaal vectoren. Newtons tweede wet, F = m·a, werkt met vectoren: kracht en versnelling hebben richting.
- Computergraphics en games — 3D-objecten worden gepositioneerd en bewogen via vectorberekeningen. Botsingsdetectie, belichting en camerahoeken zijn allemaal vectoroperaties.
- Navigatie en GPS — Een route van A naar B bestaat uit een reeks vectoren. GPS-systemen rekenen continu met positievectoren om je locatie bij te houden.
- Machine learning — Data wordt opgeslagen als vectoren. Algoritmen zoals neurale netwerken werken vrijwel volledig met matrixvermenigvuldigingen, wat een uitbreiding is van vectorberekeningen.
- Robotica — Robots plannen hun bewegingen via vectoren in de ruimte. De arm van een industrierobot gebruikt coördinaten en hoeken die worden uitgedrukt als vectoren.
- Meteorologie — Windsnelheid en -richting zijn vectorgrootheden. KNMI-weermodellen rekenen met windvelden die bestaan uit miljoenen vectoren.
Veelgemaakte fouten bij vectoren
- Richting vergeten bij optellen — Twee krachten van elk 10 Newton zijn niet altijd samen 20 Newton. Als ze tegengesteld zijn, heffen ze elkaar op (resultante is 0 Newton). Richting telt altijd mee.
- Inproduct verwarren met uitproduct — Het inproduct geeft een getal. Het uitproduct (of kruisproduct) geeft een nieuwe vector die loodrecht staat op beide invoeringsvectoren. Dat zijn twee heel verschillende bewerkingen.
- Lengte niet berekenen met Pythagoras — Een veelgemaakte fout is de lengte van v = (3, 4) bepalen als 3 + 4 = 7. De juiste lengte is √(3² + 4²) = 5.
- Scalair met vector verwisselen — Snelheid (met richting) is een vector; snelheidsmeter-waarde (alleen getal) is een scalair. Die verwarring leidt tot fouten bij krachtendiagrammen.
- Negatieve component verkeerd interpreteren — Een vector v = (−3, 4) gaat naar links en omhoog. De lengte is toch √(9 + 16) = 5, want lengte is altijd positief.
Veelgestelde vragen
Wat is het verschil tussen een vector en een scalair?
Een scalair heeft alleen een grootte, zoals temperatuur of massa. Een vector heeft een grootte én een richting, zoals snelheid of kracht. In formules en diagrammen teken je een vector als een pijl.
Hoe bereken ik de lengte van een vector?
Gebruik de stelling van Pythagoras: voor vector v = (a, b) is de lengte |v| = √(a² + b²). Voor een 3D-vector v = (a, b, c) is het |v| = √(a² + b² + c²).
Wat is een eenheidsvector?
Een eenheidsvector heeft een lengte van precies 1. Je gebruikt het om een richting aan te geven zonder grootte. Je maakt een eenheidsvector door een willekeurige vector te delen door zijn eigen lengte: û = v / |v|.
Wanneer staan twee vectoren loodrecht op elkaar?
Twee vectoren staan loodrecht op elkaar als hun inproduct gelijk is aan 0. Bereken a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂. Als het resultaat 0 is, zijn de vectoren loodrecht (orthogonaal).
Wat is het verschil tussen optellen en het inproduct?
Bij het optellen van twee vectoren krijg je een nieuwe vector. Bij het inproduct van twee vectoren krijg je een getal. Het inproduct gebruik je voor het berekenen van hoeken of het controleren op loodrechtheid.
Waar gebruik je vectoren in het dagelijks leven?
Overal waar richting en grootte samen een rol spelen: windsnelheid, GPS-navigatie, computerspellen, robotica, vliegtuigtechniek en machine learning. De blauwe pijl op je navigatieapp is letterlijk een vector die aangeeft hoe ver en in welke richting je nog moet rijden.
Hoe vermenigvuldig je twee vectoren?
Er zijn twee manieren: het inproduct (geeft een getal) en het uitproduct of kruisproduct (geeft een vector loodrecht op beide). Voor de meeste toepassingen op middelbaar schoolniveau is het inproduct het meest gebruikt.